1. Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco de trás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel utilizando 7 pessoas, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente.
2.as idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11; agora estão na razão de 4 para 5. Qual é a idade da mais velha atualmente?
3.determine o menor número natural cuja:
Divisão por 2 tem resto 1;
Divisão por 3 tem resto 2;
Divisão por 4 tem resto 3;
Divisão por 5 tem resto 4;
Divisão por 6 tem resto 5;
Divisão por 7 tem resto 0.
Resoluções dos desafios:
Desafio 1
O PROBLEMA SE RESOLVE DA SEGUINTE MANEIRA:
São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente.
Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo.
Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas:
Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, tomados 5 a 5:
A6,5= 720
Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João.
Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás.
Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4:
A6,4= 360
O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar esse resultado por 3:
3 x A6,4= 3 x 360 = 1080
O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e SEM João).
Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!!!
Desafio 2
solução é a seguinte:
Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova.
Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha.
O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então:
y/x = 4/5 (equação 1)
O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então:
(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2)
Isolando y na equação 1:
y = 4x/5
Colocando esse valor de y na equação 2 temos:
((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11
(4x/5)-8 = 8/11.(x-8)
Fazendo o mmc dos dois lados temos:
(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11
11.(4x-40) = 5.(8x-64)
44x-440 = 40x-320
44x-40x = 440-320
4x = 120
x= 30
Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!!
Desafio 3
Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo problema:
X dividido por 2 dá resto 1.
X dividido por 3 dá resto 2.
e assim por diante até:
X dividido por 6 dá resto 5.
Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor.
Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2,3,4,5 e 6.
Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120.
Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é divisível por 7.
